设f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1),证明:一定存在x0∈[0,1/3]使得f(x0)=f(2x0+(1/3 - 超级试练试题库

题目

设f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1),证明:一定存在x0∈[0,1/3]使得f(x0)=f(2x0+(1/3

提问时间：2021-03-15

答案

令 F(x)=f(x)-f(2x+1/3) 则F(0)=f(0)-f(1/3)=f(1)-f(1/3)=-F(1/3)
若F(0)=0 则取x0为0即可,若否则F(0),F(1/3) 异号,由介值定理,存在x0∈[0,1/3]
使得F(x0)=0 即f(x0)=f(2x0+1/3)

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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