题目

弦中点轨迹方程问题...
已知p(4,4)为圆 c:x方+y方=36 内的一定点,圆周上有两个动点A B,恒有PA·PB=0（向量）
求弦AB中点M的轨迹方程

提问时间：2021-03-15

答案

假设M(x0,y0),则OM斜率为y0/x0,由中垂线定理知AB斜率为-x0/y0;所以AB方程为 y-y0=-x0/y0(x-x0)代入圆的方程整理得 (x0^2+y0^2)x^2-(2x0^3+2x0y0^2)x+(x0^4+y0^4+2x0^2y0^2-36y0^2)=0;由PA*PB=0知两者垂直所以应该有AB=2PM即｜AB｜^2=4|PM|^2=4[(x0-4)^2+(y0-4)^2]; 而由伟达定理|AB|^2=[(2x0^3+2x0y0^2)/(x0^2+y0^2)]^2-4(x0^4+y0^4+2x0^2y0^2-36y0^2)/(x0^2+y0^2)从而有 [(2x0^3+2x0y0^2)/(x0^2+y0^2)]^2-4(x0^4+y0^4+2x0^2y0^2-36y0^2)/(x0^2+y0^2)=4[(x0-4)^2+(y0-4)^2]化简即得!