题目

（高中数列综合题）
题目：：数列{an}a1=1 ,点（an,a）在直线y=2x+1上.
（1）求{an}通项公式
(2)若数列{bn}满足b1=a1,bn/an=1/a1+1/a2+1/a3+.+1/a（n大于等于2,n属于自然数）求ban-(bn+1)a的值
（3）对于（2）中的数列{bn},求证（1+b1）(1+b2).(1+bn)

提问时间：2021-03-15

答案

∵数列{a[n]}点(a[n],a[n+1])在直线y=2x+1上
∴a[n+1]=2a[n]+1
即：a[n+1]+1=2(a[n]+1)
∵a[1]=1
∴{a[n]+1}是首项为a[1]+1=2,公比也是2的等比数列
即：a[n]+1=2*2^(n-1)=2^n
∴a[n]=2^n-1
∵数列{b[n]},b[n]/a[n]=1/a[1]+1/a[2]+1/a[3]+...+1/a[n-1] (n≥2,n∈N)
设c=1/a[1]+1/a[2]+1/a[3]+...+1/a[n-1]
∴b[n]=ca[n],b[n+1]=a[n+1](c+1/a[n])
∴b[n+1]a[n]-(b[n]+1)a[n+1]
=a[n+1](c+1/a[n])a[n]-(ca[n]+1)a[n+1]
=a[n+1](ca[n]+1)-a[n+1](ca[n]+1)
=0
(3)证明：
∵2^n-2^(n-1)=2^(n-1)≥1
∴2^n-1≥2^(n-1)
即：1/(2^n-1)≤1/2^(n-1)
∴1/a[1]+1/a[2]+1/a[3]+...+1/a[n-1]+1/a[n]
=1/(2^1-1)+1/(2^2-1)+1/(2^3-1)+...+1/(2^n-1)
≤1/2^0+1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-2)
=[1-1/2^(n-1)](1-1/2)
=2[1-1/2^(n-1)] (n≥2)