题目

在正四棱锥P-ABCD中（如图），若异面直线PA与BC所成角的正切值为2，底面边长AB=4．

（1）求侧棱与底面ABCD所成角的大小．
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

提问时间：2021-03-15

答案

（1）过P作斜高PE，PO⊥底面ABCD，AD∥BC∴∠PAD为异面直线PA与BC所成的角θ且tanθ=2（3分）
在Rt△PEA中tanθ=2=

PE

AE

且AE=2所以PE=4，PA=2

5

（5分）
正四棱锥P-ABCD的高为PO=2

3

在Rt△POA中，∴sin∠PAO=

15

5

∴∠PAO=arcsin

15

5

，
侧棱与底面ABCD所成角的大小为arcsin

15

5

（ 或写成arccos

10

5

）      （7分）
（2）V_P--ABCD=

1

3

•42•2

3

=

32 3

3

（14分）

（1）要求侧棱与底面ABCD所成角的大小，关键是找出侧棱在底面ABCD上的射影．过P作斜高，则∠PAD为异面直线PA与BC所成的角，进而可求侧棱与底面ABCD所成角的大小
（2）求四棱锥P-ABCD的体积，关键是求出底面积与高，进而利用公式求解．

本题考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查侧棱与底面ABCD所成角的大小，关键是找出侧棱在底面ABCD上的射影，考查几何体的体积，属于中档题．