题目

如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,⊙O交直线OB于E,D,连接EC,CD．
tan∠CED＝二分之一,BC＝4.求BD的长

提问时间：2021-03-14

答案

1,连接CD.因为ED是直径,所以∠ECD是直角,所以∠DEC+∠EDC=90°.再连接OC,因为OC=OD,所以∠ODC=∠OCD.因为OA=OB,所以O点在AB的中垂线上,因为AC=BC,所以C点在AB中垂线上,所以OC所在直线是AB的垂直平分线,所以OC⊥AB,所以∠OCD+∠DCB=90°,又因为∠ODC=∠OCD且∠DEC+∠EDC=90°,所以∠DEC=∠DCB,而∠B=∠B,所以△DCB∽△CEB,则DB/BC=BC/BE,即BC²=BD•BE
2,因为△ECD是直角三角形,且CD：CE=1:2,所以ED：CD=√5:1,而ED=6,所以CD=6/√5,CE=12/√5,而CD:CE=BC:BE=BD:BC,而BE=BD+6,BC=2BD,根据第一问中的式子可得方程4BD^2=BD*(BD+6).解得BD=2,那么OA=OB=BD+2=5