题目

证明二阶线性常微分方程有两线性无关解
方程形式如下：y''+p(x)*y'+q(x)*y=0;
证明这个微分方程一定有两个线性无关的解；
怎么证明啊?
为什么一定是两个?而且线性无关?

提问时间：2021-03-14

答案

一般n阶线性常微分方程一定有n个线性无关解.
证明的话需要颇大篇幅,对於2阶的情况,大致可以从以下几点考虑,供思考
1） 若方程有2个线性无关解,则其线性组合必也为原方程的解（此为叠加原理）
2） 若方程有2个线性无关解,代入2个解到原方程可得其对应朗斯基行列式,此时朗斯基行列式在相应区间上必恒不为零,由线性代数知2个线性无关解可以构成原方程通解；同时可知1个解不能表示出通解
3） 若方程有3个线性无关解,则两两相减得2个线性无关解,再依2）,可知3个解线性无关矛盾.
最后就是总结上边,即为通解结构定理（LZ的题目只是定理其中一个小部分）