题目

两个n阶正定矩阵的乘积仍正定?
原题：
以下说法正确的是：( )
(A) 负定矩阵的各阶顺序主子式都小于0
(B) A正定，则A-1也正定
(C) 两个n阶正定矩阵的乘积仍正定
(D) 一个二次型若既不正定，也不负定，则必为常数0
我觉得B也是对的

提问时间：2021-03-14

答案

楼上明显是乱回答,还是你自己后来给的解释靠谱
假定你说的正定阵都是实对称正定阵（或者Hermite正定）,AB确实连对称性都没有保障,但是还有一条额外的性质是AB的特征值都是正实数,这是一条比较特殊的性质,此时若AB仍然对称则必定正定
如果你还知道非对称的正定阵（即对任何非零向量x都满足x'Ax>0,不要求A对称）
A的正定性仍然可以保证A^{-1}的正定性
但是A和B正定（即使都是对称正定）也不能保证AB是正定的（包括非对称的正定）