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题目
如图,已知AD与BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于H,CH交AD于F.

(1)求证:CD∥AB;
(2)求证:△BDE≌△ACE;
(3)若O为AB中点,求证:OF=
1
2
BE.

提问时间:2021-03-14

答案
证明:(1)∵BD=CD,
∴∠BCD=∠1;
∵∠1=∠2,
∴∠BCD=∠2;
∴CD∥AB.
(2)∵CD∥AB,∴∠CDA=∠3.
∵∠BCD=∠2=∠3,
∴BE=AE.
且∠CDA=∠BCD,
∴DE=CE.
在△BDE和△ACE中,
DE=CE
∠DEB=∠CEA
BE=AE

∴△BDE≌△ACE(SAS);
(3)∵△BDE≌△ACE,
∴∠4=∠1,∠ACE=∠BDE=90°
∴∠ACH=90°-∠BCH;
又∵CH⊥AB,
∴∠2=90°-∠BCH;
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4,
∴AF=CF;
∵∠AEC=90°-∠4,∠ECF=90°-∠ACH,
又∵∠ACH=∠4,
∴∠AEC=∠ECF;
∴CF=EF;
∴EF=AF;
∵O为AB中点,
∴OF为△ABE的中位线;
∴OF=
1
2
BE.
(1)有BD=CD,可得∠1=∠BCD,那么就有∠2=∠BCD,从而CD∥AB;
(2)由∠2=∠3,可得BE=AE,又因为CD∥AB,同样可知DE=CE,根据SAS即可证出:△BDE≌△ACE;
(3)由于O是AB的中点,因此只需证得AF=EF即可得出OF是△ABE的中位线,进而可得出OF=
1
2
BE.根据(2)的全等三角形,可得出∠ACE=90°,因此可通过证CF是直角三角形ACE斜边上的中线,来得出AF=EF.

三角形中位线定理;平行线的判定;全等三角形的判定与性质.

本题利用了内错角相等,两直线平行,以及全等三角形的判定和性质,等角对等边,中位线的判定等知识.综合性强,难度较大.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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