题目

一关于分组分解法的问题
已知X不等于Y,X的平方减去X等于3,Y的平方减去Y等于3,求代数式X的平方+XY+Y的平方的值.
用中学生的方法去做,不要用韦达定理!

提问时间：2021-03-14

答案

此问题其实是一元二次方程解的另一种表示形式.显然,X、Y是X的平方减去X等于3的两个根.即X、Y是一元二次方程x^2-x-3=0的两个根.那么,利用韦达定理,X的平方+XY+Y的平方的值=(X+Y)^2-X*Y=1-(-3)=4
另一种解法,只需化简一下.
X ^2-X=3 (1)
Y^2-Y=3 (2)
由(1)(2)可得：
X^2-X=Y^2-Y
（X+Y）(X-Y)=X-Y
（X+Y-1）(X-Y)=0
由于X不等于Y,所以X-Y不能为0,故：
X+Y-1=0 （3）
X=1-Y (4)
进发（4）代入所求式中可得：
X的平方+XY+Y的平方的值=（1-Y）^2+(1-Y)Y+Y^2
=Y^2-Y+1
由（2）式可得
=3+1=4