题目
已知x^3+bx^2+cx+d的系数都是整数,若bd+cd为奇数,求证：这个多想是不能表示为两个整系数的多项式的乘积.
提问时间：2021-03-14
答案
假设多项式能分解为两个整系数多项式的乘积
即假设x^3+bx^2+cx+d=(x+l)(x^2+mx+n)；l.m.n是整数
那么原式＝x^3+(m+l)x^2+(lm+n)x+ln
那么m+l=b;lm+n=c;ln=d;
由题意:bd+cd=(b+c)d是奇数 => b+c是奇数并且d是奇数；
那么ln=d; => l是奇数并且n是奇数;
那么b+c=m+l+lm+n=m(l+1)+(l+n)中；(l+1)和(l+n)是偶数
那么b+c也是偶数
这于题意相互矛盾；所以假设不成立 =>l.m.n不是整数；
即这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积
即假设x^3+bx^2+cx+d=(x+l)(x^2+mx+n)；l.m.n是整数
那么原式＝x^3+(m+l)x^2+(lm+n)x+ln
那么m+l=b;lm+n=c;ln=d;
由题意:bd+cd=(b+c)d是奇数 => b+c是奇数并且d是奇数；
那么ln=d; => l是奇数并且n是奇数;
那么b+c=m+l+lm+n=m(l+1)+(l+n)中；(l+1)和(l+n)是偶数
那么b+c也是偶数
这于题意相互矛盾；所以假设不成立 =>l.m.n不是整数；
即这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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