题目

已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=

lnx

x

提问时间：2021-03-14

答案

∵xf′（x）+2f（x）=

lnx

x

，
∴x²f′（x）+2xf（x）=lnx
∴[x²f（x）]′=lnx，
∴x²f（x）=xlnx-x+c，
将x=e代入可得：
e²f（e）=elne-e+c，
∵f（e）=

1

2e

，
∴c=

e

2

∴x²f（x）=xlnx-x+

e

2

，
∴f（x）=

2xlnx−2x+e

2x2

∴f′（x）=

4x2lnx−8x2lnx+8x3−4ex

4x4

=

−xlnx+2x−e

x3

，
令g（x）=-xlnx+2x-e，
则g′（x）=1-lnx，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
故当x=e时，g（x）取最大值0，
故g（x）≤0恒成立，
故f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）是减函数．
故选：C