题目

已知定义在区间（-1，1）内的奇函数f（x）是减函数，若f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的范围．

提问时间：2021-03-14

答案

根据题意，∵f（1-m）+f（1-m²）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m²），
又∵f（x）是奇函数，则-f（1-m²）=f（m²-1），
∴f（1-m）＜f（m²-1），
又∵f（x）是减函数，
∴有1-m＞m²-1；
又∵函数的定义域为（-1，1）；
∴-1＜1-m＜1，-1＜1-m²＜1；
综合有

−1＜1−m＜1 −1＜1−m2＜1 1−m＞m2−1

，解可得0＜m＜1；
故m的取值范围为（0，1）．

根据题意，将f（1-m）+f（1-m²）＜0变形为f（1-m）＜-f（1-m²），又因为f（x）是奇函数，原不等式又可变形为f（1-m）＜f（m²-1），结合f（x）是减函数，可得1-m＞m²-1；再由函数的定义域为（-1，1），可得-1＜1-m＜1，-1＜1-m²＜1；综合可得不等式

−1＜1−m＜1 −1＜1−m2＜1 1−m＞m2−1

，解可得m的取值范围，即得答案．

本题考点：奇偶性与单调性的综合．

考点点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，解答的易错点为忽略函数的定义域，而只解“1-m＞m²-1”一个方程．