题目

如图,在正方形ABCD中,AB=1,E是AD边上的一点（不与A、D重合）,BE的垂直平分线GF交BC的延长线于点F
(1)求证：AE/BG=BE/BF
(2)若AE=a,连结E、F交CD于点P,连结GP,当a为何值GP//BF?

提问时间：2021-03-14

答案

因是正方形,ad//bf,角1＝角2
角3＝角A＝90度
则角gfb=角abe
三角形abe相似于三角形gfb
AE:BE(2BG)=BG:BF
推导出AE:BG=(2BG)BE:BF
若果G是BE上的点的话
上题等价于求GP∥BF时,a为何值
∵GF是BE的垂直平分线
∴G是BE中点
又GP∥BF
∴P为CD中点,且P为EF中点
易证△PDE≌△PCF
∴DE=CF=1-a,EF=BF=1+（1-a）=2-a
∴EP=EF/2=（2-a）/2
又DP=1/2
由于△PDE是直角三角形,利用勾股定理可知
DE²+DP²=EP²
从而求得：a=1或1/3
又因为E不与A、D重合
∴a=1/3