题目

救救我!
有两个角的角平分线相等的三角形是等腰三角形.

提问时间：2021-03-14

答案

这个定理是斯坦纳—莱默斯定理,定理内容是：有两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形.
这个问题是1840年莱默斯在给斯图姆的一封信中提出的.他请出给出一个纯几何学的证明.斯图姆向许多数学家提到了这件事.首先回答这个问题的是瑞士几何大师斯坦纳.后来该定理就以斯坦纳—莱默斯定理而闻名于世.
方法一：(这个是在百度知道上搜索的)
设三角形ABC,角B、角C的平分线是BE、CD
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β<180°,∴α+β<90°
∴∠FBC=∠CEF>90°
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.
设垂足分别为G、H;
∠HEF=∠CBG;
∵BC=EF,
∴Rt△CGB≌Rt△FHE
∴CG=FH,BC=HE
连接CF
∵CF=FC,FH=CG
∴Rt△CGF≌△FHC
∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD
∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
证明二：〈请读者自行画图〉
设AB>AC,于是角ACB>角ABC 角BCF=FCE=ACB>1/2角ABC=CBE=CBF 在三角形BCF和三角形CBF中 BC=BC BE=CF 角BCF>CBE 所以BF>CE <1>
作平行四边形BEGF,则角EBF=FGE EG=BF FG=BE=CF 连接CG,三角形FCG为等腰三角形 则角FCG=FGC
因为角FCE>FGE 所以角ECGEG=BF <2>
显然〈1〉〈2〉矛盾 同理AB证明三：引证:若三角形AD为角平分线,则BD/c=CD/b=BC/(b+c)=a/(b+c) 所以BD=ac/(b+c) CD=ab/(b+c)
由斯特瓦尔特定理得：c2(ab/(b+c))+b2(ac/(b+c))-aAD2=aa2bc/(b+c)2 则AD2=bc(1-(a/(b+c)2)
三角形ABC中BE CF为角B C的平分线 由BE=CE得 ca(1-(b/(a+c)2)=ab(1-(c/(a+b)2) 所以a(a+b+c)((a+b+c)(a2+bc)+bc)(b-c)=0
所以b=c