题目

一个西瓜切100刀最多能分成多少块?说明为什么.
注意：3刀以后不是每刀都能让块数翻倍的.
不是2的99或100次！从第四刀开始就不是翻倍了，不可能把所有的上一步切的西瓜都分成2份的。还有是切出来的一个平面，不是曲面。

提问时间：2021-03-13

答案

答案是166751
你这个问题的本质是n个平面最多可以把空间划分成多少块.我们来看如下三个问题：
1) n个点最多可以把一条直线划分成多少段.通项公式记为A(n)
2) n条直线最多可以把平面划分多成个区域.通项公式记为B(n)
3) n个平面最多可以把空间划分多少块.通项公式记为C(n)
第一个问题,很简单,A(n)=n+1
第二个问题,假设平面上已有n条直线它们把平面划分成最多的区域,那么第n+1条直线下去的时候,为了保证获得最多的区域,那么要求这条直线和之前的n条直线都相交,并且新产生的交点不和之前的交点重合.显然第n+1条直线和之前的n条直线产生n个交点,这n个交点把第n+1条直线划分成A(n)段,每一段都将原来的区域一分为二,于是B(n+1)=B(n)+A(n),将B(1)=2,A(n)=n+1带入很容易求得B(n)=[n(n+1)/2]+1
第三个问题,同理考察第n+1个平面下去多增加了多少块.前面的n个平面都和第n+1个平面相交,在第n+1个平面上留下n条交线,这n条交线最多将第n+1个平面划分成B(n)个区域,每个区域都将原来的块一分为二,于是C(n+1)=C(n)+B(n),将C(1)=2,B(n)=[n(n+1)/2]+1带入可以求得C(n)=[(n^3+5n)/6]+1
提示：利用以下求和公式：
1+2+...+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
将n=100带入C(n)得C(100)=166751