题目

已知向量a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,其中任何3个向量之和的长度都与其余4个向量之和长度相等,求证：a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=向量0

提问时间：2021-03-13

答案

[a1+a2+a3+a4]=[a5+a6+a7]
所以（a1+a2+a3+a4）^2=(a5+a6+a7)^2
同理 （a1+a2+a3）^2=(a4+a5+a6+a7)^2
作差(2a1+2a2+2a3+a4)a4=-a4(a4+2a5+2a6+2a7)
乘开来,注意,此时不可以同时约去a4.
于是有2a1a4+2a2a4+2a3a4+2a4a4+……=2a4(a1+a2+……+a7)=0向量.
同理可知2ai(a1+a2+……+a7)=0向量（i=1,2,3……7）
累加有2(a1+a2+……+a7)(a1+a2+……+a7)=0向量,所以必有a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=向量0