题目

设线性方程组

x1+2x2−2x3＝0 2x1−x2+λx3＝0 3x1+2x2−x3＝0

的系数矩阵为A，3阶矩阵B≠0，且AB=0，试求λ的值．

提问时间：2021-03-13

答案

由题意A＝

1 2 −2 2 −1 λ 3 1 −1

，
∵B≠0
∴秩B≥1．
由于A与B均为3阶方阵，且AB=0，
∴秩A+秩B≤3．
又∵秩≥1，
∴秩A≤3-秩B≤3-1=2，即矩阵A必不可逆，
∴|A|=0．
即

.

1 2 −2 2 −1 λ 3 1 −1

.

＝5(λ−1)＝0
∴λ=1．

首先，由AB=0，用矩阵相乘的秩的性质，得秩A+秩B≤3；然后，进一步推导出秩A≤2，即A不可逆，从而得到|A|=0；最后求解即可．

本题考点：矩阵的秩的性质．

考点点评：此题考查矩阵相乘为0的秩的性质，以及矩阵不可逆的充要条件，是基础知识点．