题目

如图（1）,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合）,已知AC=8cm,BC=6cm,角C=90度,EG=4cm,角EGF=90度,O是三角形EFG斜边上的中点.
如图（2）,若整个三角形从图一的位置出发,以1cm/s的速度沿射线AB方向平移,在三角形EFG平移的同时,点P从三角形EFG的顶点G出发,以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,三角形EFG也随之停止平移.设运动时间为x(s),FG的延长线交AC于H,四边形OAHP的面积为y（cm^2）（不考虑点P和G、F重合的情况）
（1）当x为何值时,OP平行于AC?
（2）求y与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围
（3）是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与三角形ABC面积的比为13：24?若存在,求出x的值；若不存在,说明理由.
（参考数据：114^2=12996,115^2=13225,116^2=13456或4.4^2=19.36,4.5^2=20.25,4.6^2=21.16)
图是我空间0相册里的06.

提问时间：2021-03-13

答案

[解] (1)∵Rt△EFG∽Rt△ABC ,
∴,.
∴FG==3cm.
∵当P为FG的中点时,OP‖EG ,EG‖AC ,
∴OP‖AC.
∴ x ==×3=1.5(s).
∴当x为1.5s时,OP‖AC .
(2)在Rt△EFG 中,由勾股定理得:EF =5cm.
∵EG‖AH ,
∴△EFG∽△AFH .
∴.
∴.
∴ AH=( x +5),FH=(x+5).
过点O作OD⊥FP ,垂足为 D .
∵点O为EF中点,
∴OD=EG=2cm.
∵FP=3-x ,
∴S四边形OAHP =S△AFH -S△OFP
=·AH·FH-·OD·FP
=·(x+5)·(x+5)-×2×(3-x )
=x2+x+3
(0(3)假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13:24.
则S四边形OAHP=×S△ABC
∴x2+x+3=××6×8
∴6x2+85x-250=0
解得 x1=,x2= -(舍去).
∵0∴当x=(s)时,四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13:24.
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