题目
求大神帮我看到数学函数题目,最好要有解题过程,谢谢大神了!
求函数y=(x²+9)/(x³+8)在x,y∈实数范围内的值域
求函数y=(x²+9)/(x³+8)在x,y∈实数范围内的值域
提问时间:2021-03-13
答案
用简单的导数好了
设
【分子】g(x)=x^2+9,
【分母】h(x)=x^3+8,
【分母与分子的差】t(x)=h(x)-g(x)=x^3-x^2-1,
y=f(x)=g(x)/h(x)
求导g'(x)=2x,h'(x)=3x^2,t'(x)=3x^2-2x
t'(x)>0=>x∈(-∞,0)∪(2/3,+∞)时t(x)递增
·
分类讨论
1.当x∈(2/3,+∞)时
x增大时,h(x)的增长速度大于g(x),t(x)不断增大.
即当x->+∞时,t(x)->+∞,y=f(x)=g(x)/h(x)->0【分母远大于分子,分数值无限趋于0】
2.在x∈(-∞,-2)时
x减小时,h(x)的减小速度大于g(x),-t(x)不断增大.
x->-∞时,t(x)->-∞,y=f(x)=g(x)/h(x)->0【分母的相反数远大于分子,分数值无限趋于0】
x增大时,x->-2时,h(x)->0,g(x)->13,y=y=f(x)=g(x)/h(x)->-∞【分母(负的)无限趋于0,分数值趋于负无穷大】
3.x∈(-2,2/3)时,
x减小时,x->-2时,h(x)->0,g(x)->13,y=y=f(x)=g(x)/h(x)->+∞【分母(正的)无限趋于0,分数值趋于正无穷大】
4.【y的非0性讨论】
假设y=0,则g(x)=x^2+9=0,无实数解,矛盾.
所以y≠0
·
∵y=f(x)在(-∞,-2)∪(-2,+∞)上是可导的
∴y=f(x)在(-∞,-2)∪(-2,+∞)上是连续的
综上所述,函数y=(x²+9)/(x³+8)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)
·
希望能对你有所帮助~!
讲得不是很全面,有什么不清楚的地方请追问!
设
【分子】g(x)=x^2+9,
【分母】h(x)=x^3+8,
【分母与分子的差】t(x)=h(x)-g(x)=x^3-x^2-1,
y=f(x)=g(x)/h(x)
求导g'(x)=2x,h'(x)=3x^2,t'(x)=3x^2-2x
t'(x)>0=>x∈(-∞,0)∪(2/3,+∞)时t(x)递增
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分类讨论
1.当x∈(2/3,+∞)时
x增大时,h(x)的增长速度大于g(x),t(x)不断增大.
即当x->+∞时,t(x)->+∞,y=f(x)=g(x)/h(x)->0【分母远大于分子,分数值无限趋于0】
2.在x∈(-∞,-2)时
x减小时,h(x)的减小速度大于g(x),-t(x)不断增大.
x->-∞时,t(x)->-∞,y=f(x)=g(x)/h(x)->0【分母的相反数远大于分子,分数值无限趋于0】
x增大时,x->-2时,h(x)->0,g(x)->13,y=y=f(x)=g(x)/h(x)->-∞【分母(负的)无限趋于0,分数值趋于负无穷大】
3.x∈(-2,2/3)时,
x减小时,x->-2时,h(x)->0,g(x)->13,y=y=f(x)=g(x)/h(x)->+∞【分母(正的)无限趋于0,分数值趋于正无穷大】
4.【y的非0性讨论】
假设y=0,则g(x)=x^2+9=0,无实数解,矛盾.
所以y≠0
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∵y=f(x)在(-∞,-2)∪(-2,+∞)上是可导的
∴y=f(x)在(-∞,-2)∪(-2,+∞)上是连续的
综上所述,函数y=(x²+9)/(x³+8)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)
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希望能对你有所帮助~!
讲得不是很全面,有什么不清楚的地方请追问!
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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