题目
a、b、c为非负数,a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ac≤1/4(1+9abc)
求详解
求详解
提问时间:2021-03-13
答案
a²+b²≥2ab
可得(a²+b²)c≥2abc
同理可得(a²+c²)b≥2abc
(b²+c²)a≥2abc
三式左右相加,得:
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a≥6abc
上式两端同时加上3abc,得
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a+3abc≥9abc
重新排一下顺序,再把3abc拆成三个abc,得
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a+3abc
=(abc+a²c+a²b)+(b²c+abc+b²a)+(c²b+c²a+abc)
=(bc+ac+ab)a+(bc+ac+ab)b+(bc+ac+ab)c
=(bc+ac+ab)(a+b+c)
所以:
(bc+ac+ab)(a+b+c)≥9abc
又a+b+c=1,则(bc+ac+ab)≥9abc
可得(a²+b²)c≥2abc
同理可得(a²+c²)b≥2abc
(b²+c²)a≥2abc
三式左右相加,得:
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a≥6abc
上式两端同时加上3abc,得
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a+3abc≥9abc
重新排一下顺序,再把3abc拆成三个abc,得
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a+3abc
=(abc+a²c+a²b)+(b²c+abc+b²a)+(c²b+c²a+abc)
=(bc+ac+ab)a+(bc+ac+ab)b+(bc+ac+ab)c
=(bc+ac+ab)(a+b+c)
所以:
(bc+ac+ab)(a+b+c)≥9abc
又a+b+c=1,则(bc+ac+ab)≥9abc
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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