题目

已知函数f（x)=x^3 -x
(1)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;
(2)设a>0,如果过点（a,b)可以作曲线y=f(x)的三条切线,证明-a

提问时间：2021-03-13

答案

第一问,求导数,的切线方程为：y-t^3+t=(3*t^2-1)(x-t) (未化简)
第二问,将（a,b）代入所求得的切线方程,可得到2t^3-3at^2+a+b=0.因为题目条件中有“过点（a,b)可以作曲线y=f(x)的三条切线”,故所得的方程2t^3-3at^2+a+b=0必有三个相异实数,这三个解即为可作出的三条切线的横坐标（3个）.
之后可以令g(t)=2t^3-3at^2+a+b,求导的g'(t)=6t^2-6at=6t(t-a).令导数=0,可得函数g(x)的极大值点为t=0,极小值点为t=a.因为2t^3-3at^2+a+b=0有三个相异的实数根,故函数g(x)的图像与x轴有三个不同的交点.故可得三个方程：g(0)>0,g(a)