题目

证明:f(x)在[0,1]连续,f(0)=f(1),则存在x0(0<=x0<=1)使f(x0)=f(x0+1/2)

提问时间：2021-03-13

答案

令f(0)=f(1)=a,f(1/2)=b,F(x)=f(x)-f(x+1/2)
分情况:
1.若a=b则
x0=1/2时f(x0)=f(1/2)=f(1)=f(x0+1/2)
显然满足
2.若aF(0)=f(0)-f(1/2)=a-b<0
F(1/2)=f(1/2)-f(1)=b-a>0
且F(x)在[0,1/2]上连续
于是在(0,1/2)必存在一点x0使得F(x0)=0
即f(x0)=f(x0+1/2)
3.若a>b则
与2同样方法
F(0)>0,F(1/2)<0
于是在(0,1/2)必存在一点x0使得F(x0)=0
f(x0)=f(x0+1/2)
综上所述,存在x0(0<=x0<=1)使f(x0)=f(x0+1/2)得证