题目

如图,已知等边三角形abc中,ae=cd,且af=二分之一bf求证bf⊥cf

提问时间：2021-03-13

答案

分别在BF,FD上作点P和G,使AF=FP=FG,连接PG,BG
∵在等边△ABC中,
∴CE=AC-AE=BC-CD=BD
∴在△ABD和△BCE中
又∠ABD=∠BCE
∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE,∠ADB=∠BEC,∠BAD=∠CBE
∵AD=BE
AF+FD=BF+FE
AF+FD=2AF+FE
FD=AF+FE
FD=FG+FE
又∵FD=FG+GD
∴GD=FE
∴在△BDG和△CEF中
BD=CE,∠BDG=∠CEF,GD=FE
∴△BDG≌△CEF（SAS）
∴∠BGD=∠CFE
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠ABE+∠AFB=∠AFE=60°
∴∠AFE=PFG=60°,∵PF=FG
∴△PFG是等边三角形
∴PF=PG
∵AF=BF/2,AF=PF
∴PF=PB=PG
∴△BGF是直角三角形
∴∠BGD=∠CFE=90°
∴CF⊥BE（得证）
（别抄啊~搞懂了自己写,）
(如果抄的话,不写死你~!）