题目

已知函数y=asinx+bcosx+c的图像上有一个最低点（11π/6,-1）,
(1).如果x=0时,y=-(√3)/2,求a、b、c
(2).如果将图像上每个点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的3/π,然后将所得的图像向左平移一个单位,得到y=f(x)的图像,并且方程f(x)=3的所有正根依次成为一个公差为三的等差数列,求y＝f（x）的解析式.

提问时间：2021-03-12

答案

y=asinx+bcosx+c
=√(a²+b²)sin(x+φ）+c
当x+φ=2kπ-π/2时(k∈Z)
y有最小值
（1）故由已知得
11π/6+φ=2kπ-π/2
-a/2+√3b/2+c=-1
b+c=-(√3)/2
取φ=-π/3
则tanφ=b/a=-√3
解之
a=1/2,b=-√3/2,c=0
（2）由（1）得
y=2|a|sin（x-π/3）+2a-1
经过变换得：
y=2|a|sin（π/3x）+2a-1
故f(x)=2|a|sin（π/3x）+2a-1
令f(x)=3
即2|a|sin（π/3x）+2a-1=3
即sin（π/3x）=(2-a)/|a|
令|2-a|/|a|=t
则解上面的三角方程得
x=6k+π/3arcsint
或x=6k+3-π/3arcsint
显然以上两组解各形成了一个公差为6的等差数列
为使所有正根组成一个公差为3的等差数列
只需3-π/3arcsint-π/3arcsint=0
故arcsint=0
故a=2
所以f(x)=4sin（π/3x）+3