题目

已知a ,b.r成公比为2的等比数列（a属于0到2怕爷,且sina,sinb.sinr也成等比数列,求a ,b.r的值

提问时间：2021-03-12

答案

已知α,β,γ成公比为2的等比数列,α∈(0,2π）,且sinα,sinβ.sinγ也成等比数列,求α,β,γ
的值.
β＝2α,γ＝4α
sin²2α=sinαsin4α,即4sin²αcos²α=2sinαsin2αcos2α=4sin²αcosα(1-2sin²α)
故有 4sin²αcosα(cosα+2sin²α-1)=0
由sinα=0,得α=0（舍去）或π；由cosα=0,得α=π/2或3π/2；由cosα+2sin²α-1=0,
得-2cos²α+cosα+1=0,即 2cos²α-cosα-1=(2cosα+1)(cosα-1)=0,于是由cosα=-1/2
得α=2π/3或4π/3；由cosα=1,得α=0（舍去）或2π（舍去）
故此题答案有很多；但关键要看sinα,sinβ,sinγ的公比是否存在.
(1) α=π/2；β=π；γ=2π.此时sinα=1；sinβ=0；sinγ=0 （舍去）
(2) α=2π/3；β=4π/3；γ=8π/3.此时sinα=√3/2；sinβ=-√3/2；sinγ=√3/2.(公比q=-1)
(3)α=π；β=2π；γ=4π.此时sinα=0；sinβ=0；sinγ=0 （舍去）
(4)α=3π/2；β＝3π；γ=6π.此时sinα=-1；sinβ=0；sinγ=0（舍去）
(5)α=4π/3；β=8π/3；γ=16π/3.此时sinα=-√3/2；sinβ=√3/2；sinγ=-√3/2(公比q=-1)
最后只有（2）和（5）满足题目要求.