题目

三角形内角三角函数问题
∠A ∠B ∠C 是三角形三角形ABC的三个内角 怎么证明
sinC(sinB-sinA))/(sinB+sinA)=2sin^2(C/2)sin((B-A)/2)/cos((A-B)/2)

提问时间：2021-03-12

答案

利用和差化积公式：
sinB-sinA=2cos[(B+A)/2]sin[(B-A)/2],
sinB+sinA=2 sin[(B+A)/2]cos[(B-A)/2],
sinC(sinB-sinA))/(sinB+sinA)
={ sinC*2cos[(B+A)/2]sin[(B-A)/2]}/{ 2 sin[(B+A)/2]cos[(B-A)/2]}
={ 2sin(C/2)cos(C/2)*2cos[(B+A)/2]sin[(B-A)/2]}/{ 2 sin[(B+A)/2]cos[(B-A)/2]}
因为(B+A)/2+ C/2=90°,所以cos[(B+A)/2]= sin(C/2),sin[(B+A)/2 =cos(C/2).
代入上式约分得：
=2sin^2(C/2)sin((B-A)/2)/cos((B - A)/2)
=2sin^2(C/2)sin((B-A)/2)/cos((A-B)/2)
所以等式成立.