题目

平面向量a,b,e,满足|e|=1,ae=1,be=2,|a-b|=2则ab的最小值
|a-b|=2 故│a│^2+│b│^2-2ab=4
得到ab=（│a│^2+│b│^2-4）/2
a*e=1 b*e=2
故│a│cosα=1 │b│cosβ=2
得到│a│^2+│b│^2-4=1/cos^2α+4/cos^2β-4>=1+4-4=1
当且仅当cosα=cosβ=1成立
故ab最小值为1/2
为什么这样是错误的?

提问时间：2021-03-12

答案

错误的原因在于 cosα、cosβ 不可能同时取到 1 .
a*e=1,b*e=2 ,则 a*e-b*e=(a-b)*e = -1 ,
因此 |a-b|*|e|*cos = -1 ,所以 cos = -1/2 ,
这说明 a-b 与 e 的夹角为 120° ,所以 a、b 与 e 的夹角不可能同时为 0° .
用坐标算简单.
设 e=（1,0）,a=（1,x）,b=（2,y）,
则 a-b=（-1,x-y）,由 |a-b|=2 得 (-1)^2+(x-y)^2=4 ,
所以 (x-y)^2=3 ,则 x-y= -√3 或 √3 .
（1）若 x-y= -√3 ,则 a*b=2+xy=2+x(x+√3)=x^2+√3x+2=(x+√3/2)^2+5/4 ,
因此当 x = -√3/2 时 a*b 最小值为 5/4 ；
（2）若 x-y=√3 ,则 a*b=2+xy=2+x(x-√3)=(x-√3/2)^2+5/4 ,
因此当 x = √3/2 时 a*b 最小值为 5/4 ；
综上,所求 a*b 最小值为 5/4 .