题目

抛物线y=ax²+bx+c交X轴于A、B（B>A）,顶点为C,连接CB,CA.
（1）若△ABC是等腰直角三角形,求b²-4ac的值
（2）若△ABC是等边三角形,求b²-4ac的值.
（3）若△ABC中,∠CAB=a,用含a的代数式表示b²-4ac
正确答案是（1）b²-4ac=4 （2）b²-4ac=12 （3）b²-4ac=4tan²a

提问时间：2021-03-11

答案

设点A坐标为（x1,0）,点B的坐标为（x2,0）,且x2＞x1
过点C作CD⊥x轴,垂足为D,则D为AB中点
对于一元二次方程ax²+bx+c=0来说,因为抛物线y=ax²+bx+c交X轴于A、B
∴x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
∵点C是抛物线y=ax²+bx+c的顶点
∴C（-b/2a,4ac-b²/4a）
（1）∵△ABC是等腰直角三角形
∴CA=CB
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一边,2CD=AB
2|4ac-b²/4a|=|x2-x1|=√[（x1+x2）²-4x1x2]=√（b²-4ac）/|a|
b²-4ac=4
（2）若△ABC是等边三角形,则等边三角形的高是边长的√3/2
∴|4ac-b²/4a|=√3/2×|x2-x1||=√3/2×]√（b²-4ac）/|a|
b²-4ac=12
（3）∵tanα=CD/AD
∴tanα=2|4ac-b²/4a|/|x1-x2|=2|4ac-b²/4a|/√（b²-4ac）/|a|
∴b²-4ac=4tan²a