题目

把可以表示成两个整数的平方之和的全体整数记作集合M,试证明集合M的任意两个元素的乘积仍属于M

提问时间：2021-03-11

答案

M={x|x=a^2+b^2,a和b∈Z}
设s和t∈M
则s=a^2+b^2,a和b∈Z
t==c^2+d^2,c和d∈Z
s*t=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac)^2+(bd)^2+(ad)^2+(bc)^2
=[(ac)^2+2abcd+(bd)^2]+[(ad)^2+2abcd+(bc)^2]
=(ac+bd)^2+(ad+bc)^2
又因为a,b,c,d都∈Z
所以ac+bd和ad+bc也属于Z
所以s*t可以表示成两个整数的平方之和
所以集合M的任意两个元素的乘积仍属于M