题目
已知关于x的方程(k-1)x2+2kx+k+3=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;
(2)当方程有两个相等的实数根时,求关于y的方程y2+(a-4k)y+a+1=0的整数根(a为正整数).
(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;
(2)当方程有两个相等的实数根时,求关于y的方程y2+(a-4k)y+a+1=0的整数根(a为正整数).
提问时间:2021-03-11
答案
(1)∵关于x的方程(k-1)x2+2kx+k+3=0有两个不相等的实数根,
∴△=b2-4ac=(2k)2-4×(k-1)×(k+3)=4k2-4k2-8k+12=-8k+12>0…(1分)
解得:k<
,
∵k-1≠0,即k≠1,
∴k的取值范围是k<
且k≠1. …(3分)
(2)∵当方程有两个相等的实数根时,△=-8k+12=0.
∴k=
. …(4分)
∴关于y的方程为y2+(a-6)y+a+1=0.
∴△′=(a-6)2-4(a+1)=a2-12a+36-4a-4=a2-16a+32=(a-8)2-32.
由a为正整数,当(a-8)2-32是完全平方数时,方程才有可能有整数根.
设(a-8)2-32=m2(其中m为整数),32=p•q(p、q均为整数),
∴(a-8)2-m2=32.即(a-8+m)(a-8-m)=32.
不妨设
两式相加,得a=
.
∵(a-8+m)与(a-8-m)的奇偶性相同,
∴32可分解为2×16,4×8,(-2)×(-16),(-4)×(-8),
∴p+q=18或12或-18或-12.
∴a=17或14或-1(不合题意,舍去)或2.
当a=17时,方程的两根为y=
,即y1=-2,y2=-9.…(5分)
当a=14时,方程的两根为y=
,即y1=-3,y2=-5.…(6分)
当a=2时,方程的两根为y=
,即y1=3,y2=1. …(7分)
∴△=b2-4ac=(2k)2-4×(k-1)×(k+3)=4k2-4k2-8k+12=-8k+12>0…(1分)
解得:k<
3 |
2 |
∵k-1≠0,即k≠1,
∴k的取值范围是k<
3 |
2 |
(2)∵当方程有两个相等的实数根时,△=-8k+12=0.
∴k=
3 |
2 |
∴关于y的方程为y2+(a-6)y+a+1=0.
∴△′=(a-6)2-4(a+1)=a2-12a+36-4a-4=a2-16a+32=(a-8)2-32.
由a为正整数,当(a-8)2-32是完全平方数时,方程才有可能有整数根.
设(a-8)2-32=m2(其中m为整数),32=p•q(p、q均为整数),
∴(a-8)2-m2=32.即(a-8+m)(a-8-m)=32.
不妨设
|
p+q+16 |
2 |
∵(a-8+m)与(a-8-m)的奇偶性相同,
∴32可分解为2×16,4×8,(-2)×(-16),(-4)×(-8),
∴p+q=18或12或-18或-12.
∴a=17或14或-1(不合题意,舍去)或2.
当a=17时,方程的两根为y=
−11±7 |
2 |
当a=14时,方程的两根为y=
−8±2 |
2 |
当a=2时,方程的两根为y=
4±2 |
2 |
(1)由方程有两个不相等的实数根,即可得此一元二次方程的根的判别式△>0,又由二次项系数k-1≠0,即可求得k的取值范围;
(2)首先由方程有两个相等的实数根,即△=0,求得k的值,即可得方程y2+(a-6)y+a+1=0,又由此方程的判别式△′=(a-8)2-32,可得当(a-8)2-32是完全平方数时,方程才有可能有整数根,继而分析求解即可求得答案.
(2)首先由方程有两个相等的实数根,即△=0,求得k的值,即可得方程y2+(a-6)y+a+1=0,又由此方程的判别式△′=(a-8)2-32,可得当(a-8)2-32是完全平方数时,方程才有可能有整数根,继而分析求解即可求得答案.
根的判别式.
此题考查了一元二次方程根的判别式的应用.此题难度较大,注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac的关系,注意分类讨论思想的应用.
举一反三
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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