题目

若f（a）=（3m-1）a+b-2m，当m∈[0，1]时f（a）≤1恒成立，则a+b的最大值为（　　）A.

1

3

B.

2

3

C.

5

3

D.

7

3

提问时间：2021-03-11

答案

设g（m）=f（a）=（3a-2）m+b-a，由于当m∈[0，1]时
g（m）=f（a）=（3a-2）m+b-a≤1恒成立，于是

g(0)≤1 g(1)≤1

，即

b-a≤1 b+2a≤1

，
满足此不等式组的点（a，b）构成图中的阴影部分，
其中A（

2

3

，

5

3

），设a+b=t，
显然直线a+b=t过点A时，t取得最大值

7

3

．
故选D．

先根据恒成立写出有关a，b的约束条件，再在aob系中画出可行域，设z=a+b，利用z的几何意义求最值，只需求出直线a+b=z过可行域内的点A时z最大值即可．

本题考点：["光的色散"]

考点点评：本题主要考查了恒成立问题、用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．