题目

已知三角形ABC的顶点为(3,4),重心G(1,1),顶点B在第二象限,垂心在原点,则点B的坐标

提问时间：2021-03-11

答案

设点 A(3,4) B(x1,y1) C(x2,y2) （说明：这里设A(x2,y2) B(x1,y1) C(3,4) 计算的结果一样）
因为,G(1,1)是△ABC的重心,由重心的定义：1=(3+x1+x2)/3 ,1=(4+y1+y2)/3
所以,x1+x2=0 y1+y2=-1
BC的中点坐标(0,-1/2) 因为AO⊥BC Kbc=-3/4
所以,直线BC的方程为：y=-3x/4-1/2
所以,y1=-3x1/4-1/2,y2=-3x2/4-1/2 ,因为x1+x2=0 ,x2=-x1
所以,y2=3x1/4-1/2,所以 y1*y2=-9(x1)^2/16+1/4
又因为：kco⊥kab,所以 (y2/x2)*[(y1-4)/(x1-3)]=-1
所以 y2*(y1-4)=-x2*(x1-3) y1*y2-4y2=(x1)^2-3x1
-9(x1)^2/16+1/4-4*(3x1/4-1/2)=(x1)^2-3x1
即：25(x1)^2/16=9/4 (x1)^2=36/25
所以 x1=6/5 或 x1=-6/5
因为点B在第二象限,所以 x1=-6/5
由 y=-3x/4-1/2 ,y1=-3x1/4-1/2=2/5
所以,点B的坐标,(-6/5 ,2/5)