题目

已知数列bn的前n项和Sn=n(3n-9)/2,若对任意正整数n,有k乘3的n次方≥bn,则实数k的取值范围是

提问时间：2021-03-11

答案

∵Sn=n(3n-9)/2.∴bn=Sn-S(n-1)=3n-6.
即 k*3^n≥3n-6.
化简得,k≥(3n-6)/3^n.
接下来我们可以用画图的方法或者求导数的方法来做,在这里我用后者来做.
令F（x)=(3n-6)/3^n..则F'(X)=[3^(n+1)-3^n*(3n-6)*ln3]/3^2n
令F'(X)=0.即,3^(n+1)=3^n*(3n-6)*ln3.
进一步化简得,n=(1/ln3)+2.大约在【3,4】上
说明函数的极值（极大值）在n=[3,4]上,则我们可以分别将n=3、n=4代入.
当n=3时,F(X)=(3*3-6)/3^3=1/9
当n=4时,F(X)=（3*4-6)/3^4=2/27.
易得F(3)＞F(4),所以函数F(X)的最大值为F（3)=1/9.
所以K≥1/9