题目

已知圆C经过点A（1,3）,B（2,2）,并且直线m:3x－2y=0平分圆C.若过点D（0,1）,且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M,N.若向量OM*向量ON=12,求k的值

提问时间：2021-03-11

答案

设圆心为（a,b）,半径 r ,则
3a-2b=0 ；(a-1)^2+(b-3)^2=r^2 ；(a-2)^2+(b-2)^2=r^2 ,
以上三式解得 a=2,b=3,r^2=1 ,
因此圆方程为 (x-2)^2+(y-3)^2=1 .
设过 D 的直线方程为 y=kx+1 ,代入圆方程得 (x-2)^2+(kx+1-3)^2=1 ,
化简得 (k^2+1)x^2-4(k+1)x+7=0 ,
设 M（x1,y1）,N（x2,y2）,
则 16(k+1)^2-27(k^2+1)>0 ,----------（1）
x1+x2=4(k+1)/(k^2+1) ,-----------（2）
x1*x2=7/(k^2+1) ,----------（3）
那么 y1*y2=(kx1+1)(kx2+1)=k^2x1x2+k(x1+x2)+1=7k^2/(k^2+1)+4k(k+1)/(k^2+1)+1 ,---------（4）
由于 OM*ON=12 ,所以 x1x2+y1y2=12 ,
即 7/(k^2+1)+[7k^2+4k(k+1)+k^2+1]/(k^2+1)=12 ,------------（5）
由（1）（5）解得 k=1 .