题目

阅读并解决问题：
在给定的锐角△ABC中，作一个正方形DEFG，使点D、E落在BC上，点F、G分别落在AC、AB上，作法如下：第一步：画一个有三个顶点在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′（如图）；第二步：连结BF′并延长交AC于F；第三步：过F点作FE⊥BC交BC于E；第四步：过F点作FG∥BC交AB于G；第五步：过G点作GD⊥BC于D，则四边形DEFG就是所求作的正方形．

（1）证明上述所作的四边形是正方形；
（2）在△ABC中，如果BC=6+

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，∠ABC=45°，∠BAC=75°，求正方形DEFG的边长．

提问时间：2021-03-10

答案

证明：（1）∵EF⊥BC，GD⊥BC，∴∠FED=∠EDG=90°，EF∥GD，∵FG∥BC，∴四边形DEFG是矩形，∵四边形D′E′F′G′是正方形，∴E′F′=F′G′，F′G′∥BC，F′G′FG=BF′BF=E′F′EF，∴FG=EF，∴四边形DEFG为正方...

（1）由EF⊥BC，GD⊥BC，FG∥BC易得四边形DEFG是矩形，由四边形D′E′F′G′是正方形，可得

F′G′

FG

=

BF′

BF

=

E′F′

EF

，则FG=EF，所以四边形DEFG为正方形；
（2）设正方形DEFG的边长为x，由∠ABC=45°，∠BAC=75°，得出BD，DE，EC的长，再由BD+DE+EC=6+

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，列出方程，求解即可得出正方形的边长．

本题考点：相似三角形的判定与性质；正方形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，解题时注意数形结合思想与方程思想的应用．