题目

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x．（a∈R，e为自然对数的底数）
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f(x)在(0，

1

2

)上无零点，求a的最小值．

提问时间：2021-03-10

答案

（1）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，x＞0，
求其导数可得f′（x）=1-

2

x

，
令1-

2

x

＞0，可得x＞2，令1-

2

x

＜0，可得0＜x＜2，
故此时函数的单调递减区间为（0，2），
单调递增区间为（2，+∞）；
（2）因为f（x）＜0在区间(0，

1

2

)上恒成立不可能，
故要使函数f(x)在(0，

1

2

)上无零点，
只要对任意的x∈(0，

1

2

)，f（x）＞0恒成立，即对x∈(0，

1

2

)，a＞2−

2lnx

x−1

恒成立．
令l(x)＝2−

2lnx

x−1

，x∈(0，

1

2

)，则l′(x)＝−

2 x (x−1)−2lnx

(x−1)2

=

2lnx+ 2 x −2

(x−1)2

，
再令m(x)＝2lnx+

2

x

−2，x∈(0，

1

2

)，
则m′(x)＝

2

x

−

2

x2

＝

−2(1−x)

x2

＜0，
故m（x）在(0，

1

2

)上为减函数，
于是m(x)＞m(

1

2

)＝2−2ln2＞0，
从而，l′（x）＞0，于是l（x）在(0，

1

2

)上为增函数，
所以l(x)＜l(

1

2

)＝2−4ln2，
故要使a＞2−

2lnx

x−1

恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
综上，若函数f（x）在(0，

1

2

)上无零点，则a的最小值为2-4ln2；

（1）把a等于1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间，令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间；
（2）f（x）小于0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，

1

2

）上无零点，只需要对x属于（0，

1

2

）时f（x）大于0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点．

考点点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，