题目

已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f（2+x）=f（2-x）且x∈[2，3]时，f（x）=（x-2）²，求f（x）在[4，6]上的解析式．

提问时间：2021-03-10

答案

f（2+x）=f（2-x）得出f（x）图象关于x=2对称；
x∈[2，3]上的f（x）=（x-2）²关于x=2对称，∴在[1，2]上的函数f（x）解析式也是f（x）=（x-2）²；
即在[1，3]上函数f（x）=（x-2）²；
由f（x+2）=f（x）知道f（x）的周期为2，而[1，3]正好是f（x）的一个周期，向右平移一个周期，再平移一个周期的图象如下：

由图可看出[4，5]上的解析式f（x）=（x-2-2）²=（x-4）²，（5，6]上的解析式为，f（x）=（x-2-2-2）²=（x-6）²；
即f（x）在[4，6]上的解析式为：f(x)＝

(x−4)2 x∈[4，5] (x−6)2 x∈(5，6]

．

通过已知条件知道，f（x）的周期为2，f（x）图象关于x=2对称，x∈[2，3]上的图象关于x=2对称，所以在区间[1，2]上的解析式也是f（x）=（x-2）²，即f（x）在[1，3]上的解析式为：f（x）=f（x-2）²．经过一个周期，得到f（x）在[4，5]上的图象，解析式为f（x）=（x-4）²，再经过一个周期得到f（x）在（5，6]上的图象，解析式为f（x）=（x-6）²，合在一起便得到f（x）在[4，6]上的解析式．

本题考点：函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：考查函数周期的概念，图象关于某直线对称的表示形式，二次函数图象及其对称性．