题目

已知数列{an}的前n项的平均数为2n+1
（1）求证：数列｛an｝是等差数列
（2）设an=（2n+1）Cn,比较Cn+1与Cn的大小,说明理由
（3）设函数f（x）=-x^2+4x-Cn,是否存在最大的实数λ,当x小于等于λ,对于一切非零自然数n,都有f（x）小于等于0?

提问时间：2021-03-09

答案

1、证：Sn=n*（2n+1）
an=Sn-S（n-1）=n（2n+1）-（n-1）（2n-1）
=4n-1
=3+（n-1）*4
所以｛an｝以首项为3,公差为4的等差数列
2、Cn=an/（2n+1）=（4n-1）/（2n+1）
C（n+1）=（4n+3）/（2n+3）
C（n+1）-Cn=（4n+3）/（2n+3）-（4n-1）/（2n+1）
=[（8n^2+10n+3)-(8n^2+10n-3)]/[（2n+3）（2n+1）]
=6/[（2n+3）（2n+1）]>0
所以C（n+1）>Cn
3、f（x）=-x^2+4x-Cn=-(x-2)^2+4-Cn
=-(x-2)^2+(4n+5)/(2n+1)
因为(4n+5)/(2n+1)的极限值是2
要使对于一切非零自然数n,都有f（x）≤0恒成立,则
x-2≥√2 或x-2≤-√2
即x≥√2+2 或x≤-√2+2
又因为已知条件中当x小于等于λ,则最大的实数λ=-√2+2