题目

已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且有Sn=½ n²+11/2n,数列｛bn｝满足bn+2－2bn+1+bn=0(n∈N*),
前9项和为153；
（1）求数列｛an｝、｛bn｝的通项公式；
（2）设cn=3/(2an－11)(2bn－1),数列｛cn｝的前n项和为Tn,求使不等式Tn＞k/57对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值；

提问时间：2021-03-06

答案

(1)an=Sn-Sn-1=½ n²+11/2n-½ (n-1)²+11/2(n-1)=n+5
bn+2-bn+1=bn+1-bn
所以数列{bn+1-bn}是q=1的等比数列
bn+1-bn=b2-b1
所以bn是公差为a=（b2-b1）的等差数列
bn=b1+(n-1)*a
Un=nb1+n(n-1)(b2-b1)/2 U9=153 即9b1-9*8*(b2-b1)/2=153
4b2-3b1=17 → b2=(17+3b1)/4
bn=b1+(n-1)(17-b1)/4
个人认为b1=5(题目所缺),
bn=5+3/2(n-1)
(2)cn=1/((2n-1)(2n+1))=1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))
Tn=1/2(1/(2*1-1)-1/(2*1+1)+1/(2*2-1)-1/(2*2+1)+……+1/(2n-1)-1/(2n+1))
=1/2(1-1/(2n+1))