题目

几道高一三角函数题
1求证2sinα/cosα+cosβ=tan（α+β）/2 -tan（α-β）/2
2化简（sinα+2sin3α+sin5α）/（sin3α+2sin5α+sin7α）
3求sin方20°+cos方50°+sin20°*cos50°的值
4 tanα*tanβ=13/7,sin（α-β）=根5/3 求cos（α-β）和cos（α+β）

提问时间：2021-03-06

答案

1
从右向左征;
tan（α+β）/2 -tan（α-β）/2
=(tanα/2+tanβ/2)/[1-(tanα/2)(tanβ/2)]-(tanα/2-tanβ/2)/[1+(tanα/2)(tanβ/2)]
=(通分)
=2(tanβ/2)[1+(tanα/2)^2]/{[1-(tanα/2)(tanβ/2)][1+(tanα/2)(tanβ/2)]}
=2(tanβ/2)(secα/2)^2/{[1-(tanα/2)(tanβ/2)][1+(tanα/2)(tanβ/2)]}
=2(tanβ/2)/{[(cosα/2)-(sinα/2)(tanβ/2)][(cosα/2)+(sinα/2)(tanβ/2)]}
=2(sinβ/2)(cosβ/2)/{[(cosα/2)(cosβ/2)-(sinα/2)(sinβ/2)][(cosα/2)(cosβ/2)+(sinα/2)(sinβ/2)]}
=sinβ/{cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]}
=sinβ/[(1/2)(cosα+cosβ)] (分母积化和差)
=2sinβ/(cosα+cosβ)
左边应该是这个吧?
或者右边是tan[（α+β）/2]+tan[（α-β）/2] ?
不知我理解得是否有误:tan（α+β）/2
应该是tan[（α+β）/2]还是[tan（α+β）]/2 ?
2
（sinα+2sin3α+sin5α）/（sin3α+2sin5α+sin7α）
=(首尾项和差化积)
=(2sin3αcos2α+2sin3α)/(2sin5αcos2α+2sin5α)
=(sin3α/sin5α)[(cos2α+1)/(cos2α+1)]
=sin3α/sin5α
3
sin方20°+cos方50°+sin20°*cos50°
=(sin方20°+cos方50°+2sin20°*cos50°)-sin20°*cos50°
=(sin方20°+cos方50°)^2+(1/2)[cos60°-cos20°](后项积化和差)
=(2sin30°cos10°)^2+(1/2)[1/2-(cos方10°-1) (前项和差化积)
=(cos10°)^2+3/4-(cos10°)^2
=3/4
4
sin（α-β）=根5/3,则cos（α-β）=2/3;tan(α-β)=根5/2
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+ tanα*tanβ)→(tanα-tanβ)=tan(α-β)(1+ tanα*tanβ)=(20/7)×根5/2=10√5/7
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=cosαcosβ(tanα-tanβ)=(10√5/7)cosαcosβ=√5/3→cosαcosβ=7/30
∴,cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ(1+tanαtanβ)=(7/30)(1+13/7)=2/3
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=cosαcosβ(1-tanαtanβ)=(7/30)(1-13/7)=-1/5