题目
沿海地区某农村在2002年底共有人口1480人,全年工农业生产总值为3180万元.从2003年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元,人口每年净增a人,设从2003年起的第x年该村人均产值为y万元.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)为使该村的人均产值年年都有增长,那么该村每年人口的净增不能超过多少人?
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)为使该村的人均产值年年都有增长,那么该村每年人口的净增不能超过多少人?
提问时间:2021-03-06
答案
(1)依题意得第x年该村的工农业生产总值为(3180+60x)万元,
而该村第x年的人口总数为(1480+ax)人,
∴y=
(1≤x≤10).
(2)解法一:为使该村的人均产值年年都有增长,则在1≤x≤10内,y=f(x)为增函数.
设1≤x1<x2≤10,则
f(x1)-f(x2)=
-
=
=
.
∵1≤x1<x2≤10,a>0,
∴由f(x1)<f(x2),得88800-3180a>0.
∴a<
≈27.9.又∵a∈N*,∴a=27.
解法二:∵y=
(
)
=
[1+
],
依题意得53-
<0,∴a<
≈27.9.
∵a∈N*,∴a=27.
答:该村每年人口的净增不能超过27人.
而该村第x年的人口总数为(1480+ax)人,
∴y=
3180+60x |
1480+ax |
(2)解法一:为使该村的人均产值年年都有增长,则在1≤x≤10内,y=f(x)为增函数.
设1≤x1<x2≤10,则
f(x1)-f(x2)=
3180+60x1 |
1480+ax1 |
3180+60x2 |
1480+ax2 |
=
60×1480(x1−x2)+3180a(x2−x1) |
(1480+ax1)(1480+ax2) |
=
(88800−3180a)(x1−x2) |
(1480+ax1)(1480+ax2) |
∵1≤x1<x2≤10,a>0,
∴由f(x1)<f(x2),得88800-3180a>0.
∴a<
88800 |
3180 |
解法二:∵y=
60 |
a |
53+x | ||
|
=
60 |
a |
53−
| ||
x+
|
依题意得53-
1480 |
a |
1480 |
53 |
∵a∈N*,∴a=27.
答:该村每年人口的净增不能超过27人.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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