题目

函数f(x)=x^2+2ax+3,x∈(-4,4).⑴当a=-1时,求函数f（x）的值域 ⑵函数在（-4,4）上有零点,求a的范围

提问时间：2021-03-05

答案

⑴当a=-1时：
f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2≥2
开口向上,对称轴x=1在区间（-4,4）之间
x=1时有极小值2
f(-4)=5^2+2=27
f(4)=3^2+2=11
f（x）在区间（-4,4）上的值域[2,27)
⑵
f(x)=x^2+2ax+3有零点,
判别式=(2a)^2-4*3=4a^2-12≥0
a≤-根号3,或≥根号3.（1）
x=[-2a±2根号(4a^2-12)]/2=-a±根号(a^2-3)
f(x)=x^2+2ax+3在（-4,4）上有零点,所以：
-4≤=-a-根号(a^2-3)≤4.（2）
或者
-4≤=-a+根号(a^2-3)≤4.（3）
由（2）得：
根号(a^2-3)≤4-a,-3≤16-8a,a≤19/8
根号(a^2-3)≥-(4+a),-3≥16+8a,a≤-19/8
∴a≤-19/8
由（3）得：
根号(a^2-3)≥a-4,-3≥-8a+16,a≥19/8
根号(a^2-3)≤4+a,-3≤16+8a,a≥-19/8
∴a≥19/8
a≤-19/8和a≥19/8均满足（1)的要求,所以：
a≤-19/8和a≥19/8