题目

已知数列{an}和{bn},{an}的前n项和为Sn,a2=0,且对任意n∈N*都有2Sn=n(an-1),点列Pn（an,bn)都在直线上
直线为：y=2x+2
(1)求数列{an}的通项公式
(2)求证1/（│向量P1P2│）^2+1/（│向量P1P3│）^2+…+1/（│向量P1Pn│)^2＜2/5(n≥2,n∈N*)

提问时间：2021-03-05

答案

2*a1=2*a1=a1-1
a1=-1
n>=2时
2*Sn=n*an-n
2*S(n-1)=n*a(n-1)-a(n-1)-n+1
(n-2)an=(n-1)a(n-1)+1
n>=3时
an/(n-1)=a(n-1)/(n-2)+1/((n-2)(n-1))
a2=0
an/(n-1)=a2+1/(1*2)+1/(2*3)+……+1/((n-2)(n-1))=(n-2)/(n-1)
an=n-2
代入n=1,2时亦符合
故an=n-2
bn=2*an+2=2n-2
Pn(n-2,2n-2)
P1(-1,0)
(P1Pn)^2=(n-2+1)^2+(2n-2)^2=5*(n-1)^2
原式=(1/5)*(1/1^2+1/2^2+1/3^2+……+1/(n-1)^2)