题目

已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f(2x-1)>f(1/3)的x的取值范围?
已知函数f(x)=（√3/2）sin2x-cos^2*x-1/2(x∈R)
（1）求函数f(x)的最小值和最小正周期
(2)设三角形ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且c=√3,f(C)=0,
若向量m=(1,sinA)与向量n=（2,sinB)共线,求a,b.

提问时间：2021-03-04

答案

1.偶函数f(X)在区间[0 ,+ ∞)单调递减
所以在 (-∞ ,0]单调递增
因为 f(2X-1)>f(1/3)
所以 -1/3 > 2X - 1 > 1/3
所以 1/3 >x >2/3
2.
f(x)=(根号3/2)sin2x-cos^2x-1/2=(根号3/2)sin2x-(2cos^2x-1)/2
=(根号3/2)sin2x-(cos2x)/2=sin(2x-π/6)
∴函数f(x)最小值=1 最小正周期=2π/2=π
f（x)=√3/2*sin2x-cos²x-1/2
=√3/2*sin2x-(2cos²x-1)/2-1
=√3/2*sin2x-cos2x/2-1
=sin2x*cosπ/6-cos2xsinπ/6-1
=sin(2x-π/6)-1
f（C）=0
f（C）=sin(2C-π/6)-1=0
sin(2C-π/6)=1
2C-π/6=π/2
2C=2π/3
C=π/3
向量m=（1,sinA）,与向量n=(2,sinB)共线
1*sinB=2sinA
sinB=2sinA
b=2a
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
1/2=(5a^2-3)/4a^2
4a^2=10a^2-6
6a^2-6
a^2=1
a=1或a=-1(舍去)
b=2a=2*1=2