题目

已知“非空集合M 的元素都是集合P的元素”为假命题：那么以下命题是否正确：“M中有P的元素”
试问：“都不是”是否包含于“不都是”?

提问时间：2021-03-04

答案

“M中有P的元素”,不一定是真命题.（可真可假）
用集论的语言翻译一下：
非空集合M的元素都是集合P的元素,就是说M是P的子集.
这个命题为假,也就是说M不是P的子集.
M中有P的元素,表示M与P的交集不是空集.
对于这个问题：
“M不是P的子集”不表示“M与P的交集非空”.一个显然的反例是M为空集；又一个反例如M是全体奇数,P是全体偶数.把这两个例子代入原命题也是这样.
“都不是”是否包含于“不都是”?
答案是否定的.如：“人不都是男人”不包含着“人都不是男人”.
反过来才对.如：“人都不是桌子”包含着“人不都是桌子”.
不过数学上严格化的语言不怎么说“都不是”、“不都是”,它们容易引起混淆.也不方便具体操作.
“集合S中元素都不……”一般说成“集合S中任意一个元素不……”.
“集合S中元素不都……”一般说成“集合S中存在一个元素不……”.
上面两种说法虽然长一些,也与日常语言不同,但做推理演算特别方便,不易出错.