题目

已知圆C在y轴上截得弦长为2,在x轴上截得弦长为4,
求出圆心C的坐标所满足的关系式,并求出当圆心C到点M（0,2）的距离最小时的圆的方程

提问时间：2021-03-04

答案

设圆C的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.则C点的坐标为（a,b).
依题意,在Y轴的截距|y1-y2|=2根号（4b^2-4(a^2+b^2-r^2)）=2根号（r^2-a^2）=2推出r^2-a^2=1……（1）
同理,在X轴的截距|x1-x2|=2根号（r^2-b^2）=4推出得r^2-b^2=4……（2）
（2）-（1）得a^2-b^2=3.所以圆C满足的关系式为x^2-y^2=3.……（3）
|CM|=根号x^2+(y-2)^2,将（3式）代入得根号2y^2-4y+7=根号2(y-1)^2+5.|CM|min=根号5在y=1取得,则x=+-2.所对应的圆C方程为（x+-2)^2+(y-1)^2=5