题目

已知：双曲线x^2-2y^2=2的左、右焦点分别为F1、F2,动点P满足条件|PF1|+|PF2|=4
设过F2且不垂直于坐标轴的动直线L交轨迹E于A,B两点,问线路OF2上是否存在一点D,使得以DA,DB为邻边的平行四边形为菱形?做出判断并证明.

提问时间：2021-03-04

答案

(1),易知,F1(-√3,0),F2(√3,0).又|PF1|+|PF2|=4.故动点P的轨迹E:(x^2/4)+(y^2/1)=1.(2)可设动直线L：y=k(x-√3),(k≠0).代入轨迹E的方程中,得(1+4k^2)x^2-8x(√3)k^2+4(3k^2-1)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则线段AB的中点坐标为:(4(3)k^2/(1+4k^2),-(3)k/(1+4k^2)).设点D(d,0).===>d=(33)k^2/(1+4k^2).又由题设知0≤d≤√3.===>k^2+1>0.===>存在点D.