题目

求{An}的通项公式：A1=1,A(n+1)=C-1/A(n)(C为常数）

提问时间：2021-03-04

答案

A(n+1)=C-1/An其特征方程为x=c-1/x
其解为x1=c/2+(1/2)√(c^2-4),x2=c/2-(1/2)√(c^2-4)
所以
A(n+1)-x1=C-1/An-x1=-1/An+C/2-(1/2)√(c^2-4)=x2-1/An=(x2An-1)/An=(An-x1)/(x1An)
A(n+1)-x2=C-1/An-x2=-1/An+C/2+(1/2)√(c^2-4)=x1-1/An=(x1An-1)/An=(An-x2)/(x2An)
相除：
[A(n+1)-x1]/[A(n+1)-x2]=(x2/x1)(An-x1)/(An-x2)
设Bn=(An-x1)/(An-x2),B1=(A1-x1)/(A1-x2)=(1-x1)/(1-x2),
B(n+1)=(x2/x1)Bn
Bn=B1*(x2/x1)^(n-1)=[(1-x1)/(1-x2)]*(x2/x1)^(n-1)
(An-x1)/(An-x2)=Bn=[(1-x1)/(1-x2)]*(x2/x1)^(n-1)
再求出An……