题目

高中立体几何二面角2道（急）
1.已知边长为阿德正方形ABCD外有一点P,使PA⊥平面ABCD,PA=a,求二面角A-PB-C和B-PC-D的大小
2.二面角α-EF-β的大小为45°,A为棱EF上的一点,AG在平面α内,∠GAE=45°,求直线AG与平面β所成角的大小
第一小题有打错，应该为：
已知边长为a的正方形ABCD外有一点P，使PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角A-PB-C和B-PC-D的大小

提问时间：2021-03-04

答案

1
∵PA⊥平面ABCD
∴BC⊥PA
∵ABCD是正方形
∴BC⊥AB
∴BC⊥平面PAB
∵BC在平面PBC内
∴平面PBC⊥平面PAB
∴二面角A-PB-C的大小为90º
 
做BE⊥PC,垂足为E,连接DE
∵PA⊥平面ABCD,AB=AD
∴PB=PD
又BC=CD,PA=PA
∴ΔPBC≌ΔPBD
∴DE⊥PC
∴∠BED是B-PC-D的平面角
∵AB=PA=BC=a
∴PB=√2a,PC=√3a
∴BE=DE=PB*BC/PC=√2a×a/√3a=√6/3a
 又BD=√2a
根据余弦定理,
cos∠BED=(2BE²-PC²)/(2BE²)
               =(2×6/9-2)/(2×6/9)=-1/2
∴∠BED=120º
 
二面角α-EF-β的大小为45°,A为棱EF上的一点,AG在平面α内,∠GAE=45°,
求直线AG与平面β所成角的大小
 2
过G做GH⊥β,垂足为H,连接AH
∴∠GAH是直线AG与平面β所成角
做HK⊥EF,垂足为k,连接GK
根据三垂线定理,GK⊥EF
∴∠GKH是二面角α-EF-β的平面角
∴∠GKH=45°
 
设AK=a,
∵∠GAE=45°,∴GK=a,AG=√2a
∵∠GKH=45°∴GH=√2/2*a
∴sin∠GAH=GH/AG=1/2
∴∠GAH=30º
即直线AG与平面β所成角为30º