题目

设随机变量X 在区间(0,1)内服从均匀分布,在X = x(0 < x < 1)的条件下,随机变量Y 在区间(0,x)上服从均匀分布.求
(I) 随机变量X 和Y 的联合概率密度；
(II) Y 的概率密度,并问X 和Y 是否独立；
(III) 概率P{X + Y > 1}.

提问时间：2021-03-04

答案

你若是有英文版的题,我或许可以解答……
如果均匀分布指的是Uniform distribution,联合概率密度是joint probability mass function
1)f (x,y)=1/(x-0) * 1/(1-0)=1/x
用y对于x的密度方程,乘以x的密度方程
2)f(y)=1/x
x,y 独立因为f(x,y)=f(x)f(y)
联合密度方程是x,y,各自密度方程的乘积(这题有点奇怪……)
3) P(x+y>1)=P(x>1/2,x>y>1-x) （在x1-x)=0,所以x>1/2并且y>1-x）
P(x+y>1)=P(x>1/2,x>y>1-x)=int1/x dy dx=int 2x-1/x dx=1+log 1/2=0.699
(int=integrate (1-x,x) (1/2,1),y在1-x与x之间,x在1/2与1之间,联合密度方程对y x积分,一定要先对y积,再对x积,最后一个是约等于)
如有问题,请追问或者补充问题